> Nö. Selbst ausgesät und aufgezogen.

Guck, ob in ein zwei Tagen die Stellen schwarz werden und sich ausbreiten. Falls ja ist das ein Pilz. Falls um den drumherum noch andere Basilikum stehen, isolier den.
Wenn das so'n Basilikumpilz ist, dann befällt der sehr wahrscheinlich auch den Rest.

Ed: Noch mal Foto inspiziert, das sieht nach Pilz aus.

Versuche, ihn zu retten, die befallenen Blätter wegmachen. Aber ich wette, das zeigt sich bald auch an dem jetzt noch unauffälligen Blattwerk. Und isolier den vorerst von anderen Basilikums in der Nähe, falls vorhanden.