> Mein auf der Fensterbank vorgezogener und dann in eine Schale auf den
> Balkon ausgepflanzter Basilikum fängt jetzt schon an, Blüten zu bilden.
> Ist es dafür nicht etwas früh?

Ja, normalerweise frühestens Juni/Juli.

> Wenn er blüht, ist es aber bald vorbei, oder?

Standard Supermarkt-Basilikum? Jo, die werden im Allgemeinen bei/nach der Blüte bitter und treiben nicht mehr weiter aus.
Ausnahmen bilden nur spezielle Sorten wie afrik. Strauchbasilikum, die über den Winter allerdings auch in's Haus müssten.

> Dazu kommt, das vereinzelte Blätter
> so
> aussehen? Was ist das? Das haben nur einige Blätter.

Sieht nach Pilzbefall aus, kriegt der standard Basilikum schnell. Kannste normalerweise wegschmeissen. Entfernen der betroffenen Blätter bringt selten etwas, wenn man kein Fungizid verwenden will. Die Pilze haben sich meist schon weiter verbreitet.
An den braunen/schwarzen Stellen hat der Pilz bereits die Blätter zerstört, wo der bereits an anderen Blättern sitzt siehste nicht.

Solltest Du einen neuen Basilikum im Supermarkt holen, um den einzupflanzen, dann achte sehr genau darauf, dass der auch nicht die kleinste braune/schwarze Stelle an irgendeinem Blatt hat. Sonst war's das nach paar Wochen wieder.