Bei 6mm hast da nicht viel Spielraum.
Da gehen nur Korkfliesen mit 4mm Dicke.
Mit dem Doppelklebeband kommst da wohl auf 5-5,5mm Dicke.
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Man müssten nachsehen, wie viel Spiel die Tür oben hat, dann könnte man evtl. durch unterlegen von Scheiben in den Scharnieren, einen oder mehr Millimeter raus holen.
Aber viel geht da nicht.